提要：激光顆粒大小測試的結(jié)果與顆粒形狀密切相關(guān)。通過對橢圓衍射譜的研究, 提出在激光粒度分析中以橢圓譜代替球形顆粒譜。計(jì)算機(jī)模擬計(jì)算與對金剛砂實(shí)測的結(jié)果表明橢圓衍射模型可以有效地抑制粒度反演結(jié)果的展寬, 更準(zhǔn)確地獲得非球形顆粒群的粒度分布。
關(guān)鍵詞　激光衍射, 橢圓模型, 顆粒大小分析, 顆粒形狀, 反演
1　引言
由于顆粒大小對粉末材料的重要影響, 顆粒粒度測試在建材、化工、石油等許多領(lǐng)域已經(jīng)成為一種不可缺少的檢測技術(shù)。由于顆粒形狀的多樣性, 無論何種測量方法, 均需要顆粒模型。通常假定顆粒為球體, 與被測顆粒等體積的球體直徑稱為粒徑, 或稱等效粒徑[1] 。然而球體模型在激光衍射(散射) 粒度分析技術(shù)中卻遇到嚴(yán)重困難—對非球形顆粒測試常常產(chǎn)生較大誤差, 表現(xiàn)為所測得的粒度分布較真實(shí)分布有展寬且偏小。來自日本和美國的顆粒測試報(bào)告也有相同的傾向[2] 。從光學(xué)原理上看，激光粒度分析技術(shù)是通過檢測顆粒群的衍射譜來反演顆粒群的尺寸分布的。非球形顆粒的衍射譜與球體有很大不同: 前者是非圓對稱的, 而后者是圓對稱的。欲使二者具有可比性需要新的物理模型, 新的模型應(yīng)滿足: 1) 更加逼近真實(shí)顆粒；2)對一系列顆粒有普遍的適用性；3)可給出衍射譜解析式；4)在激光測粒技術(shù)中能校正顆粒形狀引起的測量誤差；5)能函蓋球體模型。本文將證明橢圓衍射模型是滿足以上條件的最佳選擇。
2　非球形顆粒衍射模型的橢圓屏逼近
顆粒雖然是三維物體, 但是在激光測粒技術(shù)中其橫截面是使光波發(fā)生衍射的主要幾何因素, 因此只需研究與入射光垂直的顆粒橫截面。球體衍射模型即是取顆粒的體積等效球的投影圓作為該顆粒的衍射模型。如圖1 所示, 將形狀任意顆粒的橫截面視為一衍射屏?？煞謩e做出其輪廓的最大內(nèi)接圓和最小外接圓。設(shè)外圓直徑為2b, 內(nèi)圓直徑為2a。分別以2a, 2b 為長短軸做橢圓。下面將證明該橢圓屏即為與圖1 所示的顆粒橫截面等效的非圓屏的最佳解析逼近。
2. 1非圓屏與橢圓屏的幾何關(guān)系
由圖1 可見，與非球顆粒相對應(yīng)的橢圓屏的面積S e 恰好為其橫截面外接圓與內(nèi)接圓面積的幾何中值，而與該橢圓屏面積相等的圓( 面積等效圓) 的直徑Do 恰好為其長短軸2a 與2b 的幾何中值。

此顆粒對球體的偏離可用形狀系數(shù)K 表示, K 定義為:
K=b/a
由以上幾點(diǎn)可見, 橢圓屏模型的幾何要素表明, 它是介于外接圓與內(nèi)接圓之間的非球顆粒的形狀上的最佳解析逼近。
2. 2　非圓屏衍射譜與橢圓屏衍射譜的關(guān)系
衍射譜的測量是用典型的二維傅里葉變換光學(xué)系統(tǒng), 如圖2( a) 所示。被測顆粒置于平行激光束中, 在傅氏透鏡后焦面上即可獲得其衍射譜[ 3] 。顆粒衍射譜的探測通常采用同心環(huán)狀陣列光電探測器進(jìn)行〔見圖2( b) 〕。光電信號經(jīng)轉(zhuǎn)換后送入計(jì)算機(jī)作數(shù)據(jù)處理。

圖4示出了與某橢圓屏相關(guān)的三支譜線: I a 為內(nèi)接圓屏強(qiáng)度譜，I b 為外接圓屏強(qiáng)度譜，I e為該橢圓屏的徑向譜。據(jù)衍射原理可知，輪廓介于如圖1所示的內(nèi)外圓之間的任意形狀屏的徑向譜必然介于I a 與I b 之間。而由圖4 知與該任意形狀屏對應(yīng)的橢圓屏的徑向譜I e 恰好位于其間，因此可作為任意形狀屏的徑向譜的最佳解析逼近。由以上兩節(jié)的分析可得出如下結(jié)論：由同心環(huán)狀探測器測得的任意形狀顆粒的衍射強(qiáng)度譜可用如上定義的與該顆粒相應(yīng)的橢圓屏的徑向強(qiáng)度譜作為其最佳解析逼近。該橢圓屏即為任意形狀顆粒的橢圓衍射模型。
3 用橢圓屏模型探討非球形顆粒衍射譜的展寬機(jī)理。
考察一組面積相等而形狀系數(shù)K不等的橢圓, 其幾何參量見表1。圖5給出了計(jì)算機(jī)根據(jù)橢圓模型衍射譜解析式(8)繪制的該組橢圓的能譜。所謂能譜即強(qiáng)度譜對各環(huán)狀探測器面積上的積分值。由于探測器環(huán)帶面積由內(nèi)向外是增大的，因而能譜高頻部分被放大，更有利于觀察其細(xì)節(jié)差異。

該組橢圓具有相同的面積和等效面積圓直徑，但形狀不同。據(jù)衍射理論知其衍射譜應(yīng)是不同的。正如圖5 所示，使用橢圓模型繪制的能譜圖清楚地反映出了這組顆粒的衍射譜間固有的差別。但如果使用球體模型，由于該組顆粒的體積相同，均可用同一個(gè)球-圓屏-代表，則不能反映出其衍射譜間的差別。這正是球體顆粒模型的致命缺陷。
圖5 表明，形狀系數(shù)K = 1 時(shí)，橢圓模型的衍射譜與球體模型的等效面積圓的衍射譜線相同；當(dāng)K 值增大時(shí)，譜線相應(yīng)展寬，同時(shí)譜線峰值空間頻率也相應(yīng)提高。據(jù)(9)式可知，衍射譜分布的展寬必將導(dǎo)致顆粒群粒度分布反演結(jié)果的展寬。這正是非球性顆粒在激光粒度分析中產(chǎn)生測量結(jié)果展寬的原因所在。
4橢圓模型與球體模型用于粒度反演結(jié)果的比較
激光測粒理論認(rèn)為，忽略相干噪聲，顆粒群在各環(huán)的衍射能量正比于各級顆粒的衍射譜
在相應(yīng)單元上，以顆粒組成為權(quán)重的線性疊加[5]。用矩陣可表示為：
E = WT
Ei (i = 1， 2，…n) 為顆粒群在第i環(huán)的產(chǎn)生的衍射能量。n為探測器有效單元數(shù)。
Wj( j = 1，2，…，m) 為直徑為D j的顆粒在顆粒群中的重量( 或質(zhì)量) 百分比，W稱為顆粒組成或顆粒分布。m為顆粒分級總數(shù)。Tij為第j級顆粒在第i環(huán)探測單元產(chǎn)生的衍射能量。T稱為標(biāo)準(zhǔn)衍射矩陣。標(biāo)準(zhǔn)衍射矩陣T由m種不同粒徑的球體顆粒的衍射譜構(gòu)成，稱為球體標(biāo)準(zhǔn)衍射矩陣。如果矩陣由m種大小不同的橢圓屏衍射譜構(gòu)成，則稱為橢圓標(biāo)準(zhǔn)衍射矩陣，記為T′。據(jù)(9)式，如能測得顆粒群的衍射能譜E，即可由計(jì)算機(jī)根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)衍射矩陣T 反演顆粒組成W[6]。為了比較不同的顆粒模型對同一顆粒群粒度反演結(jié)果的影響，現(xiàn)僅以K = 2的某顆粒群為例, 給定其顆粒組成W0( 見表1) 。用相應(yīng)的橢圓屏群的衍射能譜E 作為(9)式中的測得能譜。分別使用球體標(biāo)準(zhǔn)衍射矩陣T 和橢圓標(biāo)準(zhǔn)衍射矩陣T′對E進(jìn)行反演運(yùn)算, 結(jié)果列于表2。
粒度分布曲線示于圖6

從反演結(jié)果可以看出, 球體模型用于非球形顆粒群的粒度反演必將導(dǎo)至粒度分布的展寬和中位徑偏小。本例中( 3) , W 的寬度擴(kuò)大了132% ; 中位徑偏離了4. 4 m,使用橢圓模型, 則可以得到相當(dāng)好的分析的結(jié)果。本例中(2) D50與預(yù)先設(shè)定值的偏差只有0. 4 m, 寬度誤差為2. 8 um, 是設(shè)定寬度的28%。此誤差來自反演過程截?cái)嗾`差的積累。與前者相比誤差壓縮了1. 04倍。
圖6 中(1)為該顆粒群的固有組成;(2)為采用橢圓模型擬合的結(jié)果; (3)為采用球體模型擬合結(jié)果。從圖中可清楚看到曲線(2)更接近曲線(1) , 而曲線(3)則比曲線(1)明顯地展寬了。由此可見橢圓模型用于激光粒度分析可以大大提高測量結(jié)果的準(zhǔn)確度。為了說明橢圓模型的應(yīng)用效果, 表3 給出了兩種顆粒模型對4種金剛砂磨料微粉衍射數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果與顯微鏡測量結(jié)果的比較。根據(jù)金剛砂形狀特征橢圓模型的形狀系數(shù)取K = 2。

顯微鏡測粒度是一種直接測量法, 以它為基準(zhǔn)考察球體模型與橢圓模型的反演結(jié)果是合理的。比較表3 中幾種磨料的中位徑D50及分布寬度W = D90 - D10,可以發(fā)現(xiàn),橢圓模型的反演結(jié)果比球體模型更接近顯微鏡的測量結(jié)果,有更高的擬合精度?？梢哉J(rèn)為,橢圓模型是一種在非球形顆粒激光測試中廣泛適用的顆粒模型。
5　結(jié)　論
本文提出在激光粒度分析中用橢圓顆粒模型代替球體模型,它比球體模型更加逼近非球形顆粒。橢圓衍射譜可以作為一類顆粒衍射譜線的代表, 此類顆粒的外接圓與內(nèi)接圓直徑分別與該橢圓的長、短軸長度相同。研究結(jié)果表明,非球形顆粒衍射譜比其等效體積球的衍射譜有所展寬, 展寬的程度與其形狀系數(shù)有關(guān)。
采用適當(dāng)?shù)臋E圓屏衍射譜構(gòu)造的標(biāo)準(zhǔn)衍射矩陣能有效地抑制反演結(jié)果的展寬等誤差。本項(xiàng)研究將顆粒形狀與顆粒大小測量相聯(lián)系, 提出了橢圓衍射模型。此模型對提高激光粒度分析的精度、擴(kuò)展其使用領(lǐng)域具有重要的實(shí)用價(jià)值。
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